傅里葉變換

圖像處理一般分為空間域處理和頻率域處理。

空間域處理是直接對圖像內的像素進行處理。

空間域處理主要劃分為灰度變換和空間濾波兩種形式。

• 灰度變換是對圖像內的單個像素進行處理，比如調節(jié)對比度和處理閾值等。
• 空間濾波涉及圖像質量的改變，例如圖像平滑處理。空間域處理的計算簡單方便，運算速度更快。

頻率域處理是先將圖像變換到頻率域，然后在頻率域對圖像進行處理，最后再通過反變換將圖像從頻率域變換到空間域。

理論基礎

時間差，在傅里葉變換里就是相位。相位表述的是與時間差相關的信息。

在圖像處理過程中，傅里葉變換就是將圖像分解為正弦分量和余弦分量兩部分，即將圖像從空間域轉換到頻域。

數(shù)字圖像經(jīng)過傅里葉變換后，得到的頻域值是復數(shù)。因此，顯示傅里葉變換的結果需要使用實數(shù)圖像（real image）加虛數(shù)圖像（complex image），或者幅度圖像（magnitude image）加相位圖像（phase image）的形式。

因為幅度圖像包含了原圖像中我們所需要的大部分信息，所以在圖像處理過程中，通常僅使用幅度圖像。

如果希望先在頻域內對圖像進行處理，再通過逆傅里葉變換得到修改后的空域圖像，就必須同時保留幅度圖像和相位圖像。

對圖像進行傅里葉變換后，會得到圖像中的低頻和高頻信息。

低頻信息對應圖像內變化緩慢的灰度分量。高頻信息對應圖像內變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。

傅里葉變換的目的，就是為了將圖像從空域轉換到頻域，并在頻域內實現(xiàn)對圖像內特定對象的處理，然后再對經(jīng)過處理的頻域圖像進行逆傅里葉變換得到空域圖像。

傅里葉變換在圖像處理領域發(fā)揮著非常關鍵的作用，可以實現(xiàn)圖像增強、圖像去噪、邊緣檢測、特征提取、圖像壓縮和加密等。

Numpy實現(xiàn)傅里葉變換

Numpy模塊中的fft2()函數(shù)可以實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。

實現(xiàn)傅里葉變換

Numpy提供的實現(xiàn)傅里葉變換的函數(shù)是numpy.fft.fft2()，它的語法格式是：

返回值 = numpy.fft.fft2(原始圖像)

參數(shù)“原始圖像”的類型是灰度圖像，函數(shù)的返回值是一個復數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

經(jīng)過該函數(shù)的處理，就能得到圖像的頻譜信息。

此時，圖像頻譜中的零頻率分量位于頻譜圖像（頻域圖像）的左上角

為了便于觀察，通常會使用numpy.fft.fftshift()函數(shù)將零頻率成分移動到頻域圖像的中心位置。

函數(shù)numpy.fft.fftshift()的語法格式是：

返回值=numpy.fft.fftshift(原始頻譜) 

使用該函數(shù)處理后，圖像頻譜中的零頻率分量會被移到頻域圖像的中心位置，對于觀察傅里葉變換后頻譜中的零頻率部分非常有效。

對圖像進行傅里葉變換后，得到的是一個復數(shù)數(shù)組。

為了顯示為圖像，需要將它們的值調整到[0, 255]的灰度空間內，使用的公式為：

像素新值=20*np.log(np.abs(頻譜值))

用Numpy實現(xiàn)傅里葉變換，觀察得到的頻譜圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f) 
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) 
plt.subplot(121) 
plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original') 
plt.axis('off') 
plt.subplot(122) 
plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray') 
plt.title('result') 
plt.axis('off') 
plt.show() 

實現(xiàn)逆傅里葉變換

注意: 如果在傅里葉變換過程中使用了numpy.fft.fftshift()函數(shù)移動零頻率分量，那么在逆傅里葉變換過程中，需要先使用numpy.fft.ifftshift()函數(shù)將零頻率分量移到原來的位置，再進行逆傅里葉變換

函數(shù)numpy.fft.ifftshift()是numpy.fft.fftshift()的逆函數(shù)，其語法格式為：

調整后的頻譜 = numpy.fft.ifftshift(原始頻譜)

numpy.fft.ifft2()函數(shù)可以實現(xiàn)逆傅里葉變換，返回空域復數(shù)數(shù)組。

它是numpy.fft.fft2()的逆函數(shù)，該函數(shù)的語法格式為：

返回值=numpy.fft.ifft2(頻域數(shù)據(jù))

函數(shù)numpy.fft.ifft2()的返回值仍舊是一個復數(shù)數(shù)組（complex ndarray）。

逆傅里葉變換得到的空域信息是一個復數(shù)數(shù)組，需要將該信息調整至[0, 255]灰度空間內，使用的公式為：

iimg = np.abs(逆傅里葉變換結果)

在Numpy內實現(xiàn)傅里葉變換、逆傅里葉變換，觀察逆傅里葉變換的結果圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f)

ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
iimg = np.fft.ifft2(ishift) 

iimg = np.abs(iimg) 
 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') 
plt.title('iimg'), plt.axis('off') 
plt.show()

高通濾波示例

一幅圖像內，同時存在著高頻信號和低頻信號。

• 低頻信號對應圖像內變化緩慢的灰度分量。例如，在一幅大草原的圖像中，低頻信號對應著顏色趨于一致的廣袤草原。
• 高頻信號對應圖像內變化越來越快的灰度分量，是由灰度的尖銳過渡造成的。如果在上面的大草原圖像中還有一頭獅子，那么高頻信號就對應著獅子的邊緣等信息。

濾波器能夠允許一定頻率的分量通過或者拒絕其通過，按照其作用方式可以劃分為低通濾波器和高通濾波器。

• 允許低頻信號通過的濾波器稱為低通濾波器。低通濾波器使高頻信號衰減而對低頻信號放行，會使圖像變模糊。
• 允許高頻信號通過的濾波器稱為高通濾波器。高通濾波器使低頻信號衰減而讓高頻信號通過，將增強圖像中尖銳的細節(jié)，但是會導致圖像的對比度降低。

傅里葉變換可以將圖像的高頻信號和低頻信號分離。

通過對圖像的頻域處理，可以實現(xiàn)圖像增強、圖像去噪、邊緣檢測、特征提取、壓縮和加密等操作。

在Numpy內對圖像進行傅里葉變換，得到其頻域圖像。然后，在頻域內將低頻分量的值處理為0，實現(xiàn)高通濾波。最后，對圖像進行逆傅里葉變換，得到恢復的原始圖像。

import cv2 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
f = np.fft.fft2(img) 
fshift = np.fft.fftshift(f) 
rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0 
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) 
iimg = np.fft.ifft2(ishift) 
iimg = np.abs(iimg) 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iimg, cmap = 'gray') 
plt.title('iimg'), plt.axis('off') 
plt.show() 

OpenCV實現(xiàn)傅里葉變換

OpenCV提供了函數(shù)cv2.dft()和cv2.idft()來實現(xiàn)傅里葉變換和逆傅里葉變換

實現(xiàn)傅里葉變換

函數(shù)cv2.dft()的語法格式為：

返回結果=cv2.dft(原始圖像，轉換標識)

在使用該函數(shù)時，需要注意參數(shù)的使用規(guī)范：

• 對于參數(shù)“原始圖像”，要首先使用np.float32()函數(shù)將圖像轉換成np.float32格式。
• “轉換標識”的值通常為“cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT”，用來輸出一個復數(shù)陣列。

函數(shù)cv2.dft()返回的結果與使用Numpy進行傅里葉變換得到的結果是一致的，但是它返回的值是雙通道的，第1個通道是結果的實數(shù)部分，第2個通道是結果的虛數(shù)部分。

經(jīng)過函數(shù)cv2.dft()的變換后，得到了原始圖像的頻譜信息。

此時，零頻率分量并不在中心位置，為了處理方便需要將其移至中心位置，可以用函數(shù)numpy.fft.fftshift()實現(xiàn)。

例如，如下語句將頻譜圖像dft中的零頻率分量移到頻譜中心，得到了零頻率分量位于中心的頻譜圖像dftshift。

dftShift = np.fft.fftshift(dft) 

經(jīng)過上述處理后，頻譜圖像還只是一個由實部和虛部構成的值。要將其顯示出來，還要做進一步的處理才行。

函數(shù)cv2.magnitude()可以計算頻譜信息的幅度。該函數(shù)的語法格式為：

返回值=cv2.magnitude(參數(shù)1，參數(shù)2)

• 參數(shù)1：浮點型x坐標值，也就是實部。
• 參數(shù)2：浮點型y坐標值，也就是虛部，它必須和參數(shù)1具有相同的size

函數(shù)cv2.magnitude()的返回值是參數(shù)1和參數(shù)2的平方和的平方根，公式為：

得到頻譜信息的幅度后，通常還要對幅度值做進一步的轉換，以便將頻譜信息以圖像的形式展示出來。簡單來說，就是需要將幅度值映射到灰度圖像的灰度空間[0, 255]內，使其以灰度圖像的形式顯示出來。

這里使用的公式為：

result = 20*np.log(cv2.magnitude(實部，虛部)) 

import numpy as np import cv2 img = cv2.imread('./img/hand1.jpg',0) dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) print(dft) dftShift = np.fft.fftshift(dft) print(dftShift) result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) #兩個參數(shù)，需要拆分通道print(result) 

用OpenCV函數(shù)對圖像進行傅里葉變換，并展示其頻譜信息。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft) 
result = 20*np.log(cv2.magnitude(dftShift[:, :,0], dftShift[:, :,1])) 
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap = 'gray') 
plt.title('result'), plt.axis('off') 
plt.show() 

實現(xiàn)逆傅里葉變換

在OpenCV中，使用函數(shù)cv2.idft()實現(xiàn)逆傅里葉變換，該函數(shù)是傅里葉變換函數(shù)cv2.dft()的逆函數(shù)。其語法格式為：

返回結果=cv2.idft(原始數(shù)據(jù)) 

對圖像進行傅里葉變換后，通常會將零頻率分量移至頻譜圖像的中心位置。如果使用函數(shù)numpy.fft.fftshift()移動了零頻率分量，那么在進行逆傅里葉變換前，要使用函數(shù)numpy.fft.ifftshift()將零頻率分量恢復到原來位置。

注意: 在進行逆傅里葉變換后，得到的值仍舊是復數(shù)，需要使用函數(shù)cv2.magnitude()計算其幅度。

用OpenCV函數(shù)對圖像進行傅里葉變換、逆傅里葉變換，并展示原始圖像及經(jīng)過逆傅里葉變換后得到的圖像。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft)

ishift = np.fft.ifftshift(dftShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1]) # 計算幅度
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show() 

低通濾波示例

在一幅圖像內，低頻信號對應圖像內變化緩慢的灰度分量。圖像進行低通濾波后會變模糊。

實現(xiàn)的中間步驟

rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) # 二維的原因，有實部和虛部 
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 

然后，將其與頻譜圖像進行運算，實現(xiàn)低通濾波。這里采用的運算形式是：

fShift = dftShift*mask

使用函數(shù)cv2.dft()對圖像進行傅里葉變換，得到其頻譜圖像。然后，在頻域內將其高頻分量的值處理為0，實現(xiàn)低通濾波。最后，對圖像進行逆傅里葉變換，得到恢復的原始圖像。

import numpy as np 
import cv2 
import matplotlib.pyplot as plt 
img = cv2.imread('./img/hand1.png',0) 
dft = cv2.dft(np.float32(img), flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) 
dftShift = np.fft.fftshift(dft)

rows, cols = img.shape 
crow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) 
mask = np.zeros((rows, cols,2), np.uint8) 
#兩個通道，與頻域圖像匹配 
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30,:] = 1 
fShift = dftShift*mask 
ishift = np.fft.ifftshift(fShift) 
iImg = cv2.idft(ishift) 
iImg= cv2.magnitude(iImg[:, :,0], iImg[:, :,1])

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap = 'gray') 
plt.title('original'), plt.axis('off') 
plt.subplot(122), plt.imshow(iImg, cmap = 'gray') 
plt.title('inverse'), plt.axis('off') 
plt.show() 

經(jīng)過低通濾波后，圖像的邊緣信息被削弱了。

時域卷積 --> 頻域乘積

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