Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之優(yōu)先級隊列(堆)圖文詳解
一、堆的概念
堆的定義：n個元素的序列{k1 , k2 , … , kn}稱之為堆，當且僅當滿足以下條件時：
（1）ki >= k2i 且 ki >= k(2i+1) ——大根堆
（2） ki <= k2i 且 ki <= k(2i+1) ——小根堆
簡單來說：
堆是具有以下性質(zhì)的完全二叉樹：
（1）每個結(jié)點的值都大于或等于其左右孩子結(jié)點的值，稱為大根堆（如左下圖）；
或者：
（1）每個結(jié)點的值都小于或等于其左右孩子結(jié)點的值，稱為小根堆（如右下圖）。
我們使用數(shù)組保存二叉樹結(jié)構(gòu)，即是將二叉樹用層序遍歷方式放入數(shù)組中，如上圖。
堆的元素下標存在以下關(guān)系：
1.假如已知雙親（parent）的下標，則
左孩子（left）下標 = 2parent + 1；
右孩子（right）下標 = 2parent +2；
2.已知孩子（child）（不區(qū)分左右）下標，則：
雙親（parent）下標 = （child - 1）/ 2 ;
小結(jié)：
- 堆邏輯上是一棵完全二叉樹；
- 堆物理上保存在數(shù)組中；
- 滿足任意結(jié)點的值都大于其子樹中結(jié)點的值，叫做大堆，或者大根堆，或者最大堆；反之，則是小堆，或者小根堆，或者最小堆；
- 堆的基本作用是，快速找集合中的最值。
二、向下調(diào)整
1.建初堆
設(shè)有一個無序序列 {2,5,7,8,4,6,3,0,9,1 }，下面通過圖解來建初始堆。
這里有一個前提：這棵二叉樹的左右子樹都必須是一個堆，才能進行調(diào)整。
下面是用到的數(shù)據(jù)的一些說明：
- array 代表存儲堆的數(shù)組
- size 代表數(shù)組中被視為堆數(shù)據(jù)的個數(shù)
- index 代表要調(diào)整位置的下標
- left 代表 index 左孩子下標
- right 代表 index 右孩子下標
- min 代表 index 的最小值孩子的下標
過程文字描述如下：
1.index 如果已經(jīng)是葉子結(jié)點，則整個調(diào)整過程結(jié)束：
（1）判斷 index 位置有沒有孩子；
（2） 因為堆是完全二叉樹，沒有左孩子就一定沒有右孩子，所以判斷是否有左孩子；
（3） 因為堆的存儲結(jié)構(gòu)是數(shù)組，所以判斷是否有左孩子即判斷左孩子下標是否越界，即 left >= size 越界。
2.確定 left 或 right，誰是 index 的最小孩子 min：
（1） 如果右孩子不存在，則 min = left；
（2）否則，比較 array[left] 和 array[right] 值得大小，選擇小的為 min；
（3）比較 array[index] 的值 和 array[min] 的值，如果 array[index] <= array[min]，則滿足堆的性質(zhì)，調(diào)整結(jié)束。
3.否則，交換 array[index] 和 array[min] 的值；
4.然后因為 min 位置的堆的性質(zhì)可能被破壞，所以把 min 視作 index，向下重復以上過程。
通過上面的操作描述，我們寫出以下代碼：
public static void shiftDown(int[] array, int size, int index){
int left = 2*index +1;
while(left < size){
int min = left;
int right = 2*index +2;
if(right<size){
if(array[right] < array[left]){
min = right;
}
}
if(array[index] <= array[min]){
break;
}
int tmp = array[index];
array[index] = array[min];
array[min] = tmp;
index = min;
left = 2*index +1;
}
}
時間復雜度為 O(log(n))。
2.建堆
下面我們給出一個數(shù)組，這個數(shù)組邏輯上可以看做一顆完全二叉樹，但是還不是一個堆，現(xiàn)在我們通過算法，把它構(gòu)建成一個堆。根節(jié)點左右子樹不是堆，我們怎么調(diào)整呢？這里我們從倒數(shù)的第一個非葉子節(jié)點的子樹開始調(diào)整，一直調(diào)整到根節(jié)點的樹，就可以調(diào)整成堆。
時間復雜度分析：
粗略估算，可以認為是在循環(huán)中執(zhí)行向下調(diào)整，為 O(n * log(n))，（了解）實際上是 O(n)。
//建堆代碼
public void createHeap(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
//根據(jù)代碼 顯示的時間復雜度 看起來 應該是O(n*logn) 但是 實際上是O(n)
for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
//調(diào)整
shiftDown(parent,usedSize);
}
}
三、優(yōu)先級隊列
1.什么是優(yōu)先隊列？
根據(jù)百科解釋：
普通的隊列是一種先進先出的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，元素在隊列尾追加，而從隊列頭刪除。在優(yōu)先隊列中，元素被賦予優(yōu)先級。當訪問元素時，具有最高優(yōu)先級的元素最先刪除。優(yōu)先隊列具有最高級先出（first in, largest out）的行為特征。通常采用堆數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。
所以我們在這里實現(xiàn)優(yōu)先隊列的內(nèi)部原理是堆，也就是說采用堆來構(gòu)建。
2.入隊列
過程（以大堆為例）：
- 首先按尾插方式放入數(shù)組；
- 比較其和其雙親的值的大小，如果雙親的值大，則滿足堆的性質(zhì)，插入結(jié)束；
- 否則，交換其和雙親位置的值，重新進行 2、3 步驟；
- 直到根結(jié)點。
下面圖解：
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child-1)/2;
while (child > 0) {
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
3.出隊列
為了防止破壞堆的結(jié)構(gòu)，刪除時并不是直接將堆頂元素刪除，而是用數(shù)組的最后一個元素替換堆頂元素，然后通過向 下調(diào)整方式重新調(diào)整成堆。
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child-1)/2;
while (child > 0) {
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
public void offer(int val) {
if(isFull()) {
//擴容
elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[usedSize++] = val;
//注意這里傳入的是usedSize-1
shiftUp(usedSize-1);
}
4.返回隊首元素
直接返回堆頂元素
public int peek() {
if(isEmpty()) {
throw new RuntimeException("優(yōu)先級隊列為空！");
}
return elem[0];
}
public boolean isEmpty() {
return usedSize == 0;
}
整體的代碼：
public class TestHeap {
public int[] elem;
public int usedSize;
public TestHeap() {
this.elem = new int[10];
}
/**
* 向下調(diào)整函數(shù)的實現(xiàn)
* @param parent 每棵樹的根節(jié)點
* @param len 每棵樹的調(diào)整的結(jié)束位置 10
*/
public void shiftDown(int parent,int len) {
int child = 2*parent+1;
//1、最起碼 是有左孩子的，至少有1個孩子
while (child < len) {
if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
child++;//保證當前左右孩子最大值的下標
}
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
parent = child;
child = 2*parent+1;
}else {
break;
}
}
}
public void createHeap(int[] array) {
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
elem[i] = array[i];
usedSize++;
}
//根據(jù)代碼 顯示的時間復雜度 看起來 應該是O(n*logn) 但是 實際上是O(n)
for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0 ; parent--) {
//調(diào)整
shiftDown(parent,usedSize);
}
}
private void shiftUp(int child) {
int parent = (child-1)/2;
while (child > 0) {
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
child = parent;
parent = (child-1)/2;
}else {
break;
}
}
}
public void offer(int val) {
if(isFull()) {
//擴容
elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
}
elem[usedSize++] = val;
//注意這里傳入的是usedSize-1
shiftUp(usedSize-1);
}
public boolean isFull() {
return usedSize == elem.length;
}
public int poll() {
if(isEmpty()) {
throw new RuntimeException("優(yōu)先級隊列為空！");
}
int tmp = elem[0];
elem[0] = elem[usedSize-1];
elem[usedSize-1] = tmp;
usedSize--;
shiftDown(0,usedSize);
return tmp;
}
public int peek() {
if(isEmpty()) {
throw new RuntimeException("優(yōu)先級隊列為空！");
}
return elem[0];
}
public boolean isEmpty() {
return usedSize == 0;
}
public void heapSort() {
int end = this.usedSize-1;
while (end > 0) {
int tmp = elem[0];
elem[0] = elem[end];
elem[end] = tmp;
shiftDown(0,end);
end--;
}
}
}
5.堆的其他TopK問題
什么是TopK問題？
從arr[1, n]這n個數(shù)中，找出最大的k個數(shù)，這就是經(jīng)典的TopK問題。
解決這類問題，我們往往會有以下幾種思路：
- 對整體進行排序，輸出前10個最大的元素。
- 用上面剛剛講的堆。
- 也是用堆，不過這比第二個思路更巧妙。
我們直接講思路三：
- 先用前k個元素生成一個小頂堆，這個小頂堆用于存儲，當前最大的k個元素。
- 接著，從第k+1個元素開始掃描，和堆頂（堆中最小的元素）比較，如果被掃描的元素大于堆頂，則替換堆頂?shù)脑?，并調(diào)整堆，以保證堆內(nèi)的k個元素，總是當前最大的k個元素。
- 直到，掃描完所有n-k個元素，最終堆中的k個元素，就是所要求的TopK。
以這個數(shù)組{12，15，21，41，30}為例，找到前3個最大的元素。
那如果是將一組進行從小到大排序，我們該采用大根堆還是小根堆？
答案是：大根堆！
步驟如下：
- 將這組數(shù)據(jù)調(diào)整為大根堆調(diào)整為大根堆；
- 0下標和最后1個未排序的元素進行交換即可；
- 重復1、2，直到結(jié)束。
總結(jié)：
如果求前K個最大的元素，要建一個小根堆。如果求前K個最小的元素，要建一個大根堆。第K大的元素。建一個小堆，堆頂元素就是第K大的元素。第K小的元素。建一個大堆，堆頂元素就是第K小的元素。
public void heapSort() {
int end = this.usedSize-1;
while (end > 0) {
int tmp = elem[0];
elem[0] = elem[end];
elem[end] = tmp;
shiftDown(0,end);
end--;
}
}
public void shiftDown(int parent,int len) {
int child = 2*parent+1;
//1、最起碼 是有左孩子的，至少有1個孩子
while (child < len) {
if(child+1 < len && elem[child] < elem[child+1]) {
child++;//保證當前左右孩子最大值的下標
}
if(elem[child] > elem[parent]) {
int tmp = elem[child];
elem[child] = elem[parent];
elem[parent] = tmp;
parent = child;
child = 2*parent+1;
}else {
break;
}
}
}
總結(jié)
來來回回，這篇文章寫了2-3天了，以前寫文章總是蜻蜓點水，不到水深，導致自己對很多的知識也沒有多深理解，僅僅是為了寫文章而寫文章。希望有改變，從這篇文章開始吧！
到此這篇關(guān)于Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之優(yōu)先級隊列(堆)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Java優(yōu)先級隊列(堆)內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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